【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點.
(1)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】(1)∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PC.∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=.
∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC.
∵AC平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)如圖,以點C為原點,,,分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0),設(shè)P(0,0,a)(a>0),
則E,=(1,1,0),=(0,0,a),=.取m=(1,-1,0),則m·=m·=0,m為面PAC的法向量.設(shè)n=(x,y,z)為面EAC的法向量,則n·=n·=0,即取x=a,y=-a,z=-2,則n=(a,-a,-2),依題意,|cos〈m,n〉|===,則a=2.于是n=(2,-2,-2),=(1,1,-2).設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ,則sin θ=|cos〈,n〉|==,即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法: ①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,均值與方差都不變;
②設(shè)有一個回歸方程 ,變量x增加一個單位時,y平均增加3個單位;
③線性回歸方程 必經(jīng)過點 ;
④在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中,從獨立性檢驗知,有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時,我們說現(xiàn)有100人吸煙,那么其中有99人患肺病.其中錯誤的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,F是PB的中點.求證:
(1)DF⊥AP.
(2)在線段AD上是否存在點G,使GF⊥平面PBC?若存在,說明G點的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)調(diào)查某社區(qū)80個人,以研究這一社區(qū)居民的休閑方式是否與性別有關(guān),得到下面的數(shù)據(jù)表:
休閑方式 | 看電視 | 運動 | 合計 |
男性 | 20 | 10 | 30 |
女性 | 45 | 5 | 50 |
合計 | 65 | 15 | 80 |
(1)將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性,設(shè)調(diào)查的3人是以運動為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為休閑方式與性別有關(guān)系?
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:K2= ),其中n=a+b+c+d)
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【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點,F為AA1的中點,求證:
(1)E、C、D1、F、四點共面;
(2)CE、D1F、DA三線共點.
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【題目】已知函數(shù) f(x)=asinx﹣bcosx(a,b為常數(shù),a≠0,x∈R)在x= 處取得最小值,則函數(shù)g(x)=f( ﹣x)是( )
A.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(π,0)對稱
B.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(π,0)對稱
C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點( ,0)對稱
D.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點( ,0)對稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】王先生家住 A 小區(qū),他工作在 B 科技園區(qū),從家開車到公司上班路上有 L1 , L2兩條路線(如圖),L1路線上有 A1 , A2 , A3三個路口,各路口遇到紅燈的概率均為 ;L2路線上有 B1 , B2兩個路.各路口遇到紅燈的概率依次為 , .若走 L1路線,王先生最多遇到 1 次紅燈的概率為;若走 L2路線,王先生遇到紅燈次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)m∈R,函數(shù)f(x)=ex﹣m(x+1) m2(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)若m=2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知實數(shù)x1 , x2滿足x1+x2=1,對任意的m<0,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,求x1的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)有一個極小值點為x0 , 求證f(x0)>﹣3,(參考數(shù)據(jù)ln6≈1.79)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)討論函數(shù)y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)當(dāng)b=0時,判斷函數(shù)y= 在(﹣1,1)上的單調(diào)性,并說明理由;
(3)設(shè)h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值為2,求a+b的取值范圍.
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