Question

在橢圓

x2

4

+y2=1中，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，過F₁和F₂分別作直線F₁A和F₂B，使得F₁A∥F₂B，連接F₂A和F₁B，兩直線交于點(diǎn)P，證明：PF₁+PF₂的定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件推導(dǎo)出|PF₁|+|PF₂|=8-

2|AF1|•|BF2|

|AF1|+|BF2|

，再由F1(-

3

，0)，F(xiàn)2(

3

，0)，AF₁∥BF₂，推導(dǎo)出|AF₁|+|BF₂|=

4m2+4

m2+4

，|AF₁|•|BF₂|=

m2+1

m2+4

，由此能夠證明|PF₁|+|PF₂|是定值．

解答： 證明：在橢圓

x2

4

+y2=1中，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，
∵過F₁和F₂分別作直線F₁A和F₂B，使得F₁A∥F₂B，
∴

|PB|

|PF1|

=

|BF2|

|AF1|

，
∴

|PB|+|PF1|

|PF1|

=

|BF2|+|AF1|

|AF1|

，
∴|PF₁|=

|AF1|

|AF1|+|BF2|

•|BF₁|，
由B點(diǎn)在橢圓上，得到|BF₁|+|BF₂|=4，
∴|PF₁|=

|AF1|

|AF1|+|BF2|

•|BF₁|=

|AF1|

|AF1|+|BF2|

•（4-|BF₂|），
同理|PF₂|=

|AF1|

|AF1|+|BF2|

（4-|AF₁|），
∴|PF₁|+|PF₂|=

|AF1|

|AF1|+|BF2|

•（4-|BF₂|）+

|AF1|

|AF1|+|BF2|

（4-|AF₁|）
=8-

2|AF1|•|BF2|

|AF1|+|BF2|

，
∵F1(-

3

，0)，F(xiàn)2(

3

，0)，AF₁∥BF₂，
∴設(shè)AF₁：x+

3

=my，BF₂：x-

3

=my，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
由

x12 4 +y12=1 x1+ 3 =my

，整理，得：
（m2+4)y12-2

3

my₁-1=0，
∴y1=

3 m+2 m2+1

m2+4

，
∴AF₁=

(x0+ 3 )2+y12

=

(my1)2+y12

=

3(m2+1) m+2m2+2

m2+4

，
同理，BF₂=

- 3(m2+1) m+2m2+2

m2+4

，
又由①②知|AF₁|+|BF₂|=

4m2+4

m2+4

，
|AF₁|•|BF₂|=

m2+1

m2+4

∴|PF₁|+|PF₂|=8-

2• m2+1 m2+4

4m2+4 m2+4

=8-

1

2

=

7

2

．
∴|PF₁|+|PF₂|是定值．

點(diǎn)評：本題考查兩數(shù)這和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．