已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,且點(diǎn)(1,
3
2
)在該橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過橢圓C的左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若△AOB的面積為
6
2
7
,求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)a2=b2+c2,求得a和b的關(guān)系,把點(diǎn)C坐標(biāo)代入橢圓方程求得a,進(jìn)而求得b,則橢圓方程可得.
(Ⅱ)先看當(dāng)l與x軸垂直時(shí),可求得A,B的坐標(biāo),進(jìn)而求得三角形AOB的坐標(biāo),不符合題意;再看直線l斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立消去y,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),進(jìn)而求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式,進(jìn)而表示出|AB|,進(jìn)而求得圓的半徑后表示出三角形AOB的面積,求得k,進(jìn)而求得圓的半徑,則圓的方程可得.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
,由題意可得e=
c
a
=
1
2
,
又a2=b2+c2,所以b2=
3
4
a2

因?yàn)闄E圓C經(jīng)過(1,
3
2
),代入橢圓方程有
1
a2
+
9
4
3
4
a2
=1

解得a=2
所以c=1,b2=4-1=3故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),計(jì)算得到:A(-1,-
3
2
),B(-1,
3
2
)
,
S△AOB=
1
2
•|AB|•|OF1|=
1
2
×1×3=
3
2
,不符合題意.
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為:y=k(x+1),k≠0
y=k(x+1)
x2
4
+
y2
3
=1
,消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0
顯然△>0成立,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-
8k2
3+4k2
,x1x2=
4k2-12
3+4k2

|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

=
1+k2
(x1-x2)2
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
64k4
(3+4k2)2
-
4(4k2-12)
3+4k2

|AB|=
1+k2
12
k2+1
3+4k2
=
12(k2+1)
3+4k2

又圓O的半徑r=
|k×0-0+k|
1+k2
=
|k|
1+k2

所以S△AOB=
1
2
•|AB|•r=
1
2
12(k2+1)
3+4k2
|k|
1+k2
=
6|k|
1+k2
3+4k2
=
6
2
7

化簡(jiǎn),得17k4+k2-18=0,即(k2-1)(17k2+18)=0,
解得k12=1,k22=-
18
17
(舍)
所以,r=
|k|
1+k2
=
2
2
,故圓O的方程為:x2+y2=
1
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,涉及了橢圓與直線,圓的關(guān)系,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2
5
,點(diǎn)(
5
,
4
3
)
在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C上的一點(diǎn)p在第一象限,且滿足PF1⊥PF2,⊙O的方程為x2+y2=4.求點(diǎn)p坐標(biāo),并判斷直線pF2與⊙O的位置關(guān)系;
(3)設(shè)點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn),是否存在不同于點(diǎn)A的定點(diǎn)B,對(duì)于⊙O上任意一點(diǎn)M,都有
MB
MA
為常數(shù),若存在,求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•泉州模擬)已知橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn),上焦點(diǎn)為F(0,1),離心率e=
12

(Ⅰ)求橢圓C的方程;    
(Ⅱ)設(shè)A(m,0)(m>0)為x軸上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A作直線l與直線AF垂直,試探究直線l與橢圓C的位置關(guān)系.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年河北省高三下學(xué)期二調(diào)考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左右焦點(diǎn)分別為,且||=2

點(diǎn)(1,)在該橢圓上.

1)求橢圓C的方程;

2)過的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的面積為,求以 為圓心且與直線相切圓的方程.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年北京市海淀區(qū)高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)(文)測(cè)試 題型:解答題

(本小題滿分13分)

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,離心率為,且點(diǎn)在該橢圓上。

(I)求橢圓C的方程;

(II)過橢圓C的左焦點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若的面積為,求圓心在原點(diǎn)O且與直線相切的圓的方程。

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案