Question

設(shè)A是圓x²+y²=1上的動點，點A在x軸上的投影為B，點P在AB上，記點P的軌跡為曲線C．過原點斜率為k的直線交曲線C于M，N兩點（其中M在第一象限），MG⊥x軸于點G，連接NG，直線NG交曲線C于另一點H．
（Ⅰ）若P為AB的中點，求曲線C的標準方程；
（Ⅱ）若點P滿足|AB|=m|PB|（m＞0且m≠1），求曲線C的方程．并探究是否存在實數(shù)m，使得對任意k＞0，都有MN⊥MH．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則A（x，2y）代入x²+y²=1能求出曲線C的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則A（x，my），代入x²+y²=1，曲線C的方程為x²+m²y²=1，由此利用點差法能求出存在實數(shù)m=

2

，使得對任意k＞0，都有MN⊥MH．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則A（x，2y）
代入x²+y²=1得x²+4y²=1，
∴曲線C的標準方程為x2+

y2

1 4

=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則A（x，my），代入x²+y²=1，
曲線C的方程為x²+m²y²=1…（6分）
由題意設(shè)M（x₀，y₀），H（x₁，y₁），
則N（-x₀，-y₀），G（x₀，0），
∵N，G，H三點共線，∴k_NH=k_NG，
∴

y0

2x0

=

y1+y0

x1+x0

，kMN=

y0

x0

=

2(y1+y0)

x1+x0

…（7分）
又M，H在曲線C上，
∴x02+m2y02=1，x12+m2y12=1，
兩式相減得：k_MH=

y1-y0

x1-x0

=-

x0+x1

m2(y0+y1)

…（8分）
∴k_MH•k_NM=-

x0+x1

m2(y0+y1)

•

y0

x0

=-

x0+x1

m2(y0+y1)

•

2(y1+y0)

x1+x0

=-

2

m2

…（10分）
又MN⊥MH，∴k_MH•k_NM=-1，∴-

2

m2

=-1，
又m＞0且m≠1，∴m=

2

，
∴存在實數(shù)m=

2

，使得對任意k＞0，都有MN⊥MH． …（12分）

點評：本題考查曲線與方程、橢圓與圓的方程及簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解和分析探究問題能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．