Question

14．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓的焦距為2，離心率為e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$﹒
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（1，0）作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由已知得：2c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=a²-c²，聯(lián)立解得即可得出．
（Ⅱ）符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為$（\frac{5}{4}，0）$．證明如下：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M（m，0），又設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則：$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂．分類討論：①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立化為（2k²+1）x²-4k²x+（2k²-2）=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=$\frac{（2{m}^{2}-4m+1）{k}^{2}+{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，對(duì)于任意的k值，上式為定值，所以2m²-4m+1=2（m²-2），解得m．
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=1，x₁x₂=1，x₁+x₂=2，y₁y₂=-$\frac{1}{2}$．由m=$\frac{5}{4}$，代入得$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$即可得出．

解答 解：（I）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由已知得：2c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=a²-c²，
聯(lián)立解得c=1，b=1，a=$\sqrt{2}$．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（Ⅱ）符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為$（\frac{5}{4}，0）$．證明如下：
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M（m，0），又設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則：
$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂．
①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-4k²x+（2k²-2）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[-（x₁+x₂）+x₁•x₂+1]=-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$．
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=$\frac{（2{m}^{2}-4m+1）{k}^{2}+{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
對(duì)于任意的k值，上式為定值，所以2m²-4m+1=2（m²-2），解得m=$\frac{5}{4}$，此時(shí)$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=-$\frac{7}{16}$為定值．
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=1，x₁x₂=1，x₁+x₂=2，y₁y₂=-$\frac{1}{2}$．
由m=$\frac{5}{4}$，得$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=1-2×$\frac{5}{4}$+$\frac{25}{16}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{16}$為定值．
綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為$（\frac{5}{4}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．