火箭發(fā)射后t s的速度為v(t),假定0≤t≤10,對函數(shù)v(t)按f(x1)Δx+f(x2)Δx+…+f(xn)Δx式所作的和具有怎樣的實際意義?

思路:本題考查“近似代替”“無限細分”和“無窮積累”的數(shù)學(xué)思想方法.

探究:將區(qū)間［0,10］等分成n個小區(qū)間,每個小區(qū)間的長度為Δt,在每個小區(qū)間上取一點,依次為t1,t2,…,ti,…,tn,雖然火箭的速度不是常數(shù),但在一個小區(qū)間內(nèi)其變化很小,所以可以用v(t1)來代替火箭在第一個小區(qū)間上的速度,這樣v(t1)Δt≈火箭在第一個時段內(nèi)運行的路程;同理,v(t2)Δt≈火箭在第二個時段內(nèi)運行的路程,從而Sn=v(t1)Δt+v(t2)Δt+…+v(tn)Δt≈火箭在10 s內(nèi)運行的總路程.

這就是函數(shù)v(t)在時間區(qū)間［0,10］上按f(x1)Δx+f(x2)Δx+…+f(xn)Δx所作的和的實際背景.

當Δt無限趨近于0,Sn就是無限趨近于火箭在10 s內(nèi)所運行的總路程.

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