Question

14．如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow c$，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQ：QA′=4：1，試用基向量$\{\overrightarrow a，\overrightarrow，\overrightarrow c\}$表示以下向量：
（1）$\overrightarrow{AP}$；
（2）$\overrightarrow{AM}$；
（3）$\overrightarrow{QN}$．

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow c$，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQ：QA′=4：1，結(jié)合向量的基本定義，可得答案．

解答 解：∵在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow c$，
P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQ：QA′=4：1，
連接AC，AD′．
∴（1）$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{{AA}^{′}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{AA}^{′}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）；
（2）$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD′}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{AA}^{′}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）；
（3）$\overrightarrow{QN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC′}$+$\overrightarrow{AD′}$）-（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CQ}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{AA}^{′}}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{AA}^{′}}$）-（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{{AA}^{′}}$-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$）=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）-（$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{c}$）=$\frac{3}{10}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查的知識點是向量的加法和減法，向量基本定理，難度中檔．