Question

5．已知正四棱臺（由正四棱錐截得的棱臺叫做正四棱臺）上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側面積和體積．

Answer 1

分析 設E，E₁分別是BC，B₁C₁的中點，O，O₁分別是下、上底面正方形的中心，則O₁O是正四棱臺的高，且O₁O=12，連結OE，O₁E₁，則OE=6，O₁E₁=3，過E₁作E₁H⊥OE，垂足為H，則E₁H=O₁O=12，OH=O₁E₁=3，HE=3，${E}_{1}E=3\sqrt{17}$，由此能求出該正四棱臺的側面積、體積．

解答 解：如圖，E，E₁分別是BC，B₁C₁的中點，O，O₁分別是下、上底面正方形的中心，
則O₁O是正四棱臺的高，則O₁O=12，
連結OE，O₁E₁，則OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×12$=6，O₁E₁=$\frac{1}{2}$A₁B₁=3，
過E₁作E₁H⊥OE，垂足為H，
則E₁H=O₁O=12，OH=O₁E₁=3，HE=OE-O₁E₁=6-3=3，
在Rt△E₁HE中，E₁E²=E₁H²+HE²=12²+3²=3²×4²+3²=3²×17，
∴${E}_{1}E=3\sqrt{17}$，
∴該正四棱臺的側面積為
${S}_{側}=4×\frac{1}{2}×（{B}_{1}{C}_{1}+BC）×{E}_{1}E$=$2×（12+6）×3\sqrt{17}=108\sqrt{17}$．
S_上=6²=36，S_下=12²=144，h=12，
∴該正四棱臺的體積為：
V=$\frac{h}{3}（{S}_{上}+{S}_{下}+\sqrt{{S}_{上}{S}_{下}}）$=$\frac{12}{3}（36+144+\sqrt{36×144}）$=1008．

點評 本題主要考查正四棱臺的側面積和體積的求法，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系及體積計算等基礎知識；考查學生的空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力；考查了化歸與轉化及數(shù)形結合的數(shù)學思想．