Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊，作兩個(gè)角α，β，它們終邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，Q，其中$P（\frac{1}{2}，{cos^2}θ）$，Q（sin²θ，-1），θ∈R，且$sinα=\frac{4}{5}$．
（1）求cos2θ的值；
（2）求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得sinα=$\frac{4}{5}$=$\frac{{cos}^{2}θ}{\sqrt{\frac{1}{4}{+cos}^{4}θ}}$，由此求得cos²θ、sin²θ的值，可得cos2θ的值．
（2）由（1）可得P、Q的坐標(biāo)，可得tanα和tanβ的值，利用兩角和的正切公式求得tan（α+β）的值．

解答 解：（1）由題意可得sinα=$\frac{4}{5}$=$\frac{{cos}^{2}θ}{\sqrt{\frac{1}{4}{+cos}^{4}θ}}$得：cos²θ=$\frac{2}{3}$∴sin²θ=$\frac{1}{3}$，
∴cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{1}{3}$．
（2）由（1）可得α的終邊上一點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$），β的終邊上一點(diǎn)Q（$\frac{1}{3}$，-1），
∴tanα=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$，tanβ=$\frac{-1}{\frac{1}{3}}$=-3，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=-$\frac{1}{3}$．
本題主要考查任意角三角函數(shù)的定義；考查和角公式；考查學(xué)生的字母符號(hào)處理能力、運(yùn)算能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力，屬于中檔題．

點(diǎn)評(píng) 本題是原創(chuàng)題，考查任意角三角函數(shù)的定義；考查和角公式；考查學(xué)生的字母符號(hào)處理能力、運(yùn)算能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力，屬于基礎(chǔ)題．