【題目】已知圓，圓內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切.記動(dòng)圓圓心的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡方程；

（II）過點(diǎn)的動(dòng)直線l交軌跡于M，N兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)Q？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(I) ；(II)存在，恒過點(diǎn)Q(0，1).

【解析】

（Ⅰ）由題意可知：，P點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）利用特例先確定定點(diǎn)Q，再推廣到一般情況即可.

解:（Ⅰ）解：設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為.

，

故點(diǎn)的軌跡為橢圓，

，

，

故圓心的軌跡方程為

(II)當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以線段MN為直徑的圓的方程為x2＋＝；

當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以線段MN為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1.

由得

故若存在定點(diǎn)Q，則Q的坐標(biāo)只可能為Q(0，1).

下面證明Q(0，1)為所求：

若直線l的斜率不存在，上述已經(jīng)證明.

若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx－，

M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，

Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，

＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋

＝(1＋k2)·－·＋＝0，

∴⊥，即以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)Q(0，1).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，焦距為，拋物線： 的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).

（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）上不同于的兩點(diǎn)， 滿足，且直線與相切，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)程為（為參數(shù)），設(shè)直線與的交點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求出曲線的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為曲線的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足 (其中)，命題：實(shí)數(shù)滿足

(1)若，且為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年，有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí)，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

(Ⅰ)估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；

(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ，210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求P(50.5<Z<94)；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)査的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

(i)得分不低于μ可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ則只有1次；

(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下：

贈(zèng)送話費(fèi)(單元：元)

10

20

概率

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加.問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附： ，

若ZN(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ+σ)= 0.6826，P(μ－2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】兩人約定在20∶00到21∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20∶00至21∶00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，則他們兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率為（ ）．

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足，，.

（1）若，，，求的取值范圍；

（2）若是公比為的等比數(shù)列，，，，求的取值范圍；

（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．

（）求的取值范圍．

（）記兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：，點(diǎn)在x軸的正半軸上，過點(diǎn)M的直線l與拋線C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

若，且直線l的斜率為1，求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切；

是否存在定點(diǎn)M，使得不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，恒為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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