15.已知函數(shù)f(x)=3sinωxcosωx-$\sqrt{3}$cos2ωx+2sin2(ωx-$\frac{π}{12}$)+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求f(x)的遞增區(qū)間.
(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=1,b=$\sqrt{2}$,f(A)=1,求∠C的大小.

分析 (1)利用降冪公式結合輔助角公式化簡,再由周期求得ω,結合復合函數(shù)的單調性求得函數(shù)的遞增區(qū)間;
(2)由f(A)=1求得A,再由正弦定理求得B,則C可求.

解答 解:(1)f(x)=3sinωxcosωx-$\sqrt{3}$cos2ωx+2sin2(ωx-$\frac{π}{12}$)+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{3}{2}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1+cos2ωx)+1-cos2(ωx-$\frac{π}{12}$)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3}{2}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-cos(2ωx-$\frac{π}{6}$)+1=2sin(2ωx-$\frac{π}{3}$)+1,
∵T=π,ω>0,∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π,ω=1.
∴f(x)=2sin(2x-$\frac{π}{3}$)+1
故遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{5π}{12}$],k∈Z;
(2)∵f(A)=1,∴sin(2A-$\frac{π}{3}$)=0,
又-$\frac{π}{3}$<2A-$\frac{π}{3}$<$\frac{5π}{3}$.
∴2A-$\frac{π}{3}$=0或2A-$\frac{π}{3}$=π
即A=$\frac{π}{6}$或A=$\frac{2π}{3}$.
又a<b,∴A<B,故A=$\frac{2π}{3}$舍去,
∴A=$\frac{π}{6}$.
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$,得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴B=$\frac{π}{4}$或B=$\frac{3π}{4}$,
若B=$\frac{π}{4}$,則C=$\frac{7π}{12}$.
若B=$\frac{3π}{4}$,則C=$\frac{π}{12}$.

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用,考查了y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)的圖象和性質,是中檔題.

練習冊系列答案
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