Question

函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-

1+cox2x

2

-

1

2

（1）若x屬于[

π

4

，

π

2

]，求f（x）的最值及對應(yīng)的x值；
（2）若不等式[f（x）-m]²＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,二倍角的余弦

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用輔助角公式化簡，結(jié)合x屬于[

π

4

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求f（x）的最值及對應(yīng)的x值；
（2）[f（x）-m]²＜1等價于m-1＜f（x）＜m+1，利用（1）的結(jié)論建立不等式組，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1+cox2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
∵x屬于[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

時，函數(shù)取得最小值-

1

2

；2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，函數(shù)取得最大值0；
（2）[f（x）-m]²＜1等價于m-1＜f（x）＜m+1，
∵不等式[f（x）-m]²＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴

m-1＜- 1 2 m+1＞0

，
∴-1＜m＜

1

2

．

點評：本題考查輔助角公式的運用，考查三角函數(shù)的最值，考查恒成立問題，正確求出函數(shù)的最值是關(guān)鍵．