Question

【題目】已知函數(shù)， ， 為實數(shù)， ， 為自然對數(shù)的底數(shù)， .

（1）當， 時，設(shè)函數(shù)的最小值為，求的最大值；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同實數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，并在定義域內(nèi)求導(dǎo)函數(shù)零點： ，再列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性及最小值 ，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值：先求導(dǎo)數(shù)，確定定義域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)零點，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值.（2）先變量分離： ，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖像：當時， 單調(diào)減， ；當時， 單調(diào)增， ， 因此有兩個不同實數(shù)解需，

試題解析：解：（1）當時，函數(shù)，

則 ，

令，得，因為時， ，

所以 ，

令，

則，令，得，

且當時， 有最大值1，

所以的最大值為1（表格略），（分段寫單調(diào)性即可），此時.

（2）由題意得，方程在區(qū)間上有兩個不同實數(shù)解，

所以在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解，

即函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個不同的交點，

因為，令，得，

所以當時， ，

當時， ，

所以， 滿足的關(guān)系式為，即的取值范圍為.