Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=lg

x

x2+1

，有下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）；
②函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最大值為-lg2；
④當0＜x＜1時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；當x＞1時，函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號是

①③④

．（寫出所有你認為正確的結(jié)論的序號）

Answer 1

分析：f（x）有意義，真數(shù)＞0，得f（x）的定義域①；由f（x）定義域非奇非偶性②；由f（x）的真數(shù)

x

x2+1

有最大值，得f（x）最大值③； 由真數(shù)t=

x

x2+1

的增減性判定f（x）的增減性④．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=lg

x

x2+1

有意義，∴

x

x2+1

＞0，∴x＞0，∴f（x）的定義域是（0，+∞），①正確；
∵f（x）的定義域是（0，+∞），∴f（x）是非奇非偶的函數(shù)，②不正確；
函數(shù)f（x）=lg

x

x2+1

中，設(shè)t=

x

x2+1

，則tx²-x+t=0，由（-1）²-4t•t≥0，得-

1

2

≤t≤

1

2

，只取0＜t≤

1

2

，∴t=

1

2

時，f（x）有最大值為-lg2，③正確；
又t=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

，當且僅當x=

1

x

，即x=1時“=”成立，∴在0＜x＜1時，t是增函數(shù)，f（x）也是增函數(shù)；
在x＞1時，ts是減函數(shù)，f（x）也是減函數(shù)；④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題利用對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)，基本不等式等知識，綜合考查了函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、最大最小值問題，是基礎(chǔ)題．