Question

函數(shù)f（x）的定義域D={x|x≠0}，且滿足對于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）與f（-1）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
（3）若x＞1時，f（x）＞0，求證f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（4）在（3）的條件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

Answer 1

分析：（1）利用該抽象函數(shù)滿足的函數(shù)值關(guān)系的性質(zhì)，賦兩個自變量相應(yīng)的值，可以求解出f（1）與f（-1）的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義結(jié)合已知條件得出f（-x）與f（x）的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意對自變量賦合適的函數(shù)值；
（3）根據(jù)單調(diào)性的定義，任取定義區(qū)間的兩個自變量，比較其函數(shù)值得出f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的遞增性質(zhì)；
（4）利用（3）中函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)自變量的關(guān)系列出關(guān)于x的不等式是解決本題的關(guān)鍵．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．
（2）令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定義域關(guān)于原點對稱可得f（x）是偶函數(shù)．
（3）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，f(

x2

x1

)＞0，
則f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＞f(x1)，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
由f（3x+1）≤2變形為f（3x+1）≤f（16）．
∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的條件下有f[|3x+1|]≤f（16）
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈[-

17

3

，-

1

3

)∪(-

1

3

，5]．

點評：本題考查抽象函數(shù)問題的解決方法，考查賦值法求給定自變量處函數(shù)值，賦值法確定函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的方法，充分發(fā)揮定義的引領(lǐng)作用．考查函數(shù)單調(diào)性在轉(zhuǎn)化求解自變量時的應(yīng)用作用．