如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,是橢圓上不同的三點,,,在第三象限,線段的中點在直線上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點C的坐標(biāo);
(3)設(shè)動點在橢圓上(異于點,,)且直線PB,PC分別交直線OA于,兩點,證明為定值并求出該定值.
(1);(2);(3).
解析試題分析:(1)已知橢圓過兩點,可把兩點坐標(biāo)代入方程列出關(guān)于的方程組,然后把分別作為整體,方程組就變?yōu)槎淮畏匠探M,從而可很快解得;(2)關(guān)鍵是線段的中點在直線上,可設(shè),由線段中點為,而直線的方程可求得,代入可得的一個方程,點坐標(biāo)代入橢圓方程又得另一方程,聯(lián)立可解得點坐標(biāo);(3)這類問題我們采取設(shè)而不求的方法,設(shè),在直線上,則,同理,
,下面我們想辦法把用表示出來,這可由共線,共線得到,這里要考查同學(xué)計算能力,只要計算正確,就能得出正確結(jié)論.
試題解析:(1)由已知,得解得 2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 3分
(2)設(shè)點,則中點為.
由已知,求得直線的方程為,從而.①
又∵點在橢圓上,∴.②
由①②,解得(舍),,從而. 5分
所以點的坐標(biāo)為. 6分
(3)設(shè),,.
∵三點共線,∴,整理,得. 8分
∵三點共線,∴,整理,得. 10分
∵點在橢圓上,∴,.
從而. 14分
所以. 15分
∴為定值,定值為. 16分
考點:(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)中點問題;(3)定值問題.
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已知橢圓:的一個焦點為,離心率為.設(shè)是橢圓長軸上的一個動點,過點且斜率為的直線交橢圓于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的最大值.
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已知橢圓的左右頂點分別為,離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點為曲線:上任一點(點不同于),直線與直線交于點,為線段的中點,試判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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拋物線,直線過拋物線的焦點,交軸于點.
(1)求證:;
(2)過作拋物線的切線,切點為(異于原點),
(i)是否恒成等差數(shù)列,請說明理由;
(ii)重心的軌跡是什么圖形,請說明理由.
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已知點點分別是軸和軸上的動點,且,動點滿足,設(shè)動點的軌跡為E.
(1)求曲線E的方程;
(2)點Q(1,a),M,N為曲線E上不同的三點,且,過M,N兩點分別作曲線E的切線,記兩切線的交點為,求的最小值.
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已知橢圓的方程為,其中.
(1)求橢圓形狀最圓時的方程;
(2)若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點,證明:點在一個定圓上.
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已知橢圓的右焦點為F,A為短軸的一個端點,且,的面積為1(其中為坐標(biāo)原點).
(1)求橢圓的方程;
(2)若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點,動點M滿足,連結(jié)CM,交橢圓于點,證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問軸上是否存在異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點,若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點,點是橢圓上不同于的任意一點,設(shè)直線的斜率分別為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng),在焦點在軸上的橢圓上求一點Q,使該點到直線(的距離最大。
(3)試判斷乘積“(”的值是否與點(的位置有關(guān),并證明你的結(jié)論;
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知定點A(-4,0)、B(4,0),動點P與A、B連線的斜率之積為-.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)點P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上,且在y軸右側(cè),圓M被y軸截得的弦長為r.
(ⅰ)求圓M的方程;
(ⅱ)當(dāng)r變化時,是否存在定直線l與動圓M均相切?如果存在,求出定直線l的方程;如果不存在,說明理由.
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