Question

已知函數(shù).
(1當(dāng) 時， 與)在定義域上單調(diào)性相反，求的 的最小值。
（2）當(dāng)時，求證：存在，使的三個不同的實(shí)數(shù)解，且對任意且都有.

Answer 1

(1) 1，(2)詳見解析.

解析試題分析： (1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，注意考慮函數(shù)定義域. 兩個函數(shù)的單調(diào)性可以從可以確定的函數(shù)入手.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9f/0/tsir6.png" style="vertical-align:middle;" />當(dāng)時，；當(dāng)時，對恒成立，所以，對恒成立，所以，在上為增函數(shù)。根據(jù)和在定義域上單調(diào)性相反得，在上為減函數(shù)，所以對恒成立，即：，所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6a/8/p0b3e4.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值.所以，此時的最小值是，-(2)運(yùn)用函數(shù)與方程思想，方程有三個不同的解，實(shí)質(zhì)就是函數(shù)與有三個不同的交點(diǎn) ，由圖像可知在極大值與極小值之間. 證明不等式，需從結(jié)構(gòu)出發(fā)，利用條件消去a,b，將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)：，從而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，證明不等式.
解析：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5f/5/clpl01.png" style="vertical-align:middle;" />---------2分。
當(dāng)時，；當(dāng)時，對恒成立，
所以，對恒成立，所以，在上為增函數(shù)。
根據(jù)和在定義域上單調(diào)性相反得，在上為減函數(shù)，所以對恒成立，即：，所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6a/8/p0b3e4.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值.所以，此時的最小值是，-------6分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/7/ecflq2.png" style="vertical-align:middle;" />當(dāng)時，，且一元二次方程的，所以有兩個不相等的實(shí)根  8分
當(dāng)時，為增函數(shù)；
當(dāng)時，