Question

1．設(shè)a，b∈R，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=e^x+ax+b在點（0，1）處的切線與x軸平行．
（1）求a，b的值；
（2）若對一切x∈R，關(guān)于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)在圖象上一點的切線斜率和函數(shù)在該點導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求出a=-1，而切點在函數(shù)圖象上，從而求出b=0；
（2）根據(jù)上面得出f（x）=e^x-x，求導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可求出該函數(shù)的最小值為1，從而得出1≥[（m-1）x+n]_max，通過判斷函數(shù)（m-1）x+n的最大值即可討論出m+n的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a；
據(jù)題意f′（0）=1+a=0；
∴a=-1；
∵點（0，1）在函數(shù)f（x）圖象上；
∴f（0）=1+0+b=1；
∴b=0；
即a=-1，b=0；
（2）f（x）=e^x-x；
f′（x）=e^x-1；
∴x＜0時，f′（x）＜0，x＞0時，f′（x）＞0；
∴x=0時，f（x）取最小值1；
據(jù)題意有1≥（m-1）x+n；
∴1≥[（m-1）x+n]_max；
①若m=1，則1≥n；
∴m+n的最大值為2；
②若m＜1或m＞1時，則（m-1）x+n在R上無最大值；
∴m+n無最大值．

點評 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運用，函數(shù)在圖象上一點的導(dǎo)數(shù)與過該點切線斜率的關(guān)系，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的方法，理解恒成立問題的處理方法．