Question

某校高一（2）班共有學(xué)生51人，據(jù)統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元，若該班全體學(xué)生改飲某品牌的桶裝純凈水，經(jīng)測算和市場調(diào)查，其年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其它費用228元，其中，純凈水的銷售價x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關(guān)系．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)a=120時，若該班每年需要純凈水380桶，請你根據(jù)提供的信息比較，該班全體學(xué)生改飲桶裝純凈水的年總費用與該班全體學(xué)生購買飲料的年總費用，哪一種更少？說明你的理由；
（3）當(dāng)a至少為多少時，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水的年總費用一定比該班全體學(xué)生購買飲料的年總費用少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出直線方程，根據(jù)題目中兩組數(shù)據(jù)直接求出參數(shù)k，b，從而可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別比較兩種方式花錢數(shù)量，判斷哪一種花錢更少；
（3）設(shè)出每年購買純凈水的費用為P元與x的關(guān)系式，然后根據(jù)配方法求二次函數(shù)的最值．
解答：解：（1）設(shè)y=kx+b，
∵x=8時，y=400；x=10時，y=320．
∴解之，得k=-40，b=720
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-40x+720（x＞0）；
（2）該班學(xué)生買飲料每年總費用為51×120=6120（元），
當(dāng)y=380時，380=-40x+720，得x=8.5，
該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費用為380×8.5+228=3458（元），
顯然，從經(jīng)濟(jì)上看飲用桶裝純凈水花錢少；
（3）設(shè)該班每年購買純凈水的費用為P元，則P=xy=x（-40x+720）=-40（x-9）²+3240
∴x=9時，P_max=3240
要使飲用桶裝純凈水的年總費用一定比該班全體學(xué)生購買飲料的年總費用少，則51a≥P_max+228
解得a≥68，故a至少為68元時全班飲用桶裝純凈水的年總費用一定比該班全體學(xué)生購買飲料的年總費用少．
點評：本題考查函數(shù)模型的選取與應(yīng)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，通過題意分別列出等式，并根據(jù)二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．