Question

已知圓O：x²+y²=1和定點A（2，1），由圓外一點P（a，b）向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|
（1）求實數(shù)a，b間滿足的等量關系式；
（2）求△OQP面積的最小值；
（3）求||PO|-|PQ||的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP、OQ，利用切線的性質(zhì)可得PQ⊥OQ，再利用兩點間的距離公式和勾股定理即可得出|PQ|²=|OP|²-r²=|PA|²；
（2）由于，所以要求△OQP面積的最小值，只要求出|PQ|的最小值即可．
由|PQ|====，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）設O關于直線l：2x+y-3=0的對稱點為O′（m，n），可得，即可解出m，n．利用||PO|-|PQ||=||PO′|-|PA||≤|O′A|即可得出．
解答：解：（1）連接OP、OQ，∵Q為切點，∴PQ⊥OQ，
∴|PQ|²=|OP|²-r²=|PA|²，
∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，化為2a+b-3=0．
（2）∵，
∴要求△OQP面積的最小值，只要求出|PQ|的最小值即可．
∵|PQ|====，
當時，|PQ|_min=．所求△OQP的面積最小值為．
（3）設O關于直線l：2x+y-3=0的對稱點為O′（m，n），
則，解得．
∴||PO|-|PQ||=||PO′|-|PA||≤|O′A|==．
故||PO|-|PA||的最大值為．
點評：熟練掌握圓的切線的性質(zhì)、兩點間的距離公式、勾股定理、三角形的面積計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、軸對稱的性質(zhì)、三角形的三邊關系等是解題的關鍵．