Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù)f（x）=|x﹣ |+|x+2a|（a∈R，且a≠0）
（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）證明：f（x）≥2 ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：a=﹣1時(shí)，f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥5， x≥2時(shí)，x+1+x﹣2≥5，解得：x≥3，
﹣1＜x＜2時(shí)，x+1+2﹣x≥5，無解，
x≤﹣1時(shí)，﹣x﹣1﹣x+2≥5，解得：x≤﹣2，
故不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣2}．
（Ⅱ）證明：f（x）=|x﹣ |+|x+2a|≥|x+2a+ ﹣x|=|2a|+| |≥2 ，
當(dāng)且僅當(dāng)|2a|=| |，即a= 時(shí)”=“成立．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)以及基本不等式的性質(zhì)證明即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的絕對(duì)值不等式的解法，需要了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能得出正確答案．