Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，求證：；

（3）若，且不等式對一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)x=1 (2)證明見解析 (3)

【解析】

（1）令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進(jìn)而求解；

（2）轉(zhuǎn)化思想，要證 ，即證 ，即證，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證；

（3）不等式 對一切正實(shí)數(shù)恒成立，，設(shè)，分類討論進(jìn)而求解．

解：（1）令，所以，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；

所以，所以的零點(diǎn)為．

（2）由題意， ，

要證 ，即證，即證，

令，則，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，

即，所以原不等式成立．

（3）不等式 對一切正實(shí)數(shù)恒成立，

，

設(shè)，，

記，△，

①當(dāng)△時，即時，恒成立，故單調(diào)遞增．

于是當(dāng)時，，又，故，

當(dāng)時，，又，故，

又當(dāng)時，，

因此，當(dāng)時，，

②當(dāng)△，即時，設(shè)的兩個不等實(shí)根分別為，，

又，于是，

故當(dāng)時，，從而在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時，于是，

即 舍去，

綜上，的取值范圍是．