【題目】設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)當,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當,若函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個交點,設(shè)兩個交點的橫坐標分別為.

①求的取值范圍;

②求證:.

【答案】(Ⅰ),單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是.

(Ⅱ),②見解析

【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合題中所給的的條件,令導(dǎo)數(shù)大于零和導(dǎo)數(shù)小于零,分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間;

(Ⅱ)函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個交點,等價于函數(shù) 有兩個零點,對函數(shù)求導(dǎo),研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得參數(shù)m的范圍,之后根據(jù)兩個零點的條件,以及函數(shù)圖象的特點,證得結(jié)果.

(Ⅰ)由已知得,,

,,,

,

所以,當,單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是.

(Ⅱ)令 ,

,

①解法一:由,;易知,的極大值點.

,,.

由題意,只需滿足,

的取值范圍是.

解法二:,

;,易知為極大值點.

時取得極小值,

由題意,只需滿足,解得.

②由題意知,為函數(shù) 的兩個零點,由①知,不妨設(shè),,且函數(shù)上單調(diào)遞增,

欲證,只需證明,

所以,只需證明.

,

,∴

所以,,上為增函數(shù),所以,

成立,所以,.

練習冊系列答案
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