已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

(1) . (2) .

解析試題分析:(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸,半焦距,則半短軸.   3分
又橢圓的焦點(diǎn)在軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.      5分
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為 ,點(diǎn)的坐標(biāo)是
,得,                      9分
由點(diǎn)在橢圓上,得,             11分
∴線段中點(diǎn)的軌跡方程是.     12分
考點(diǎn):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及軌跡方程的求法
點(diǎn)評(píng):若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0,y0)的變動(dòng)而變動(dòng),且x0、y0可用x、y表示,則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程,即得點(diǎn)P的軌跡方程.這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法).

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為

軸被拋物線截得的線段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).
(1)求的方程;
(2)設(shè)軸的交點(diǎn)為,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線
相交于兩點(diǎn),直線分別與相交于.   
①證明:為定值;
②記的面積為,試把表示成的函數(shù),并求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知點(diǎn)是F拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn),且橢圓的離心率為

(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)P,作拋物線的切線,切點(diǎn)P在第一象限,如圖,設(shè)切線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B,記直線OP,F(xiàn)A,FB的斜率分別為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知,點(diǎn)B是軸上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)B作AB的垂線軸于點(diǎn)Q,若
,.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)是否存在定直線,以PM為直徑的圓與直線的相交弦長(zhǎng)為定值,若存在,求出定直線方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓的右頂點(diǎn).
(。┤糁本l斜率k=1,求△ABP的面積;
(ⅱ)若直線AP,BP的斜率分別為,,求證:為定值.

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已知圓O,直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),O為原點(diǎn).
(Ⅰ)若直線l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn),且與圓O交于A、B兩點(diǎn),且,求直線l的方程;
(Ⅱ)如圖,若重心恰好在圓上,求m的取值范圍.

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已知點(diǎn)M是圓C:上的一點(diǎn),且軸,為垂足,點(diǎn)滿足,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知點(diǎn)R(-3,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,點(diǎn)M在直線PQ上 ,且滿足,.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)為軌跡C上兩點(diǎn),且,N(1,0),求實(shí)數(shù),使,且.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn)。
(Ⅰ)若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo)。
(Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍。

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