Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n＞1）且a₁=-$\frac{1}{4}$，則a₂₀₁₅=5．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式及首項求得數(shù)列前幾項，得到數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，則答案可求．

解答 解：由a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n＞1）且a₁=-$\frac{1}{4}$，得
${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}=\frac{-\frac{1}{4}-1}{-\frac{1}{4}}=5$，${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}}=\frac{5-1}{5}=\frac{4}{5}$，
${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}}=\frac{\frac{4}{5}-1}{\frac{4}{5}}=-\frac{1}{4}$，
…
由上可知，數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
則a₂₀₁₅=a_3×671+2=a₂=5．
故答案為：5．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的周期性，是中檔題．