Question

已知圓M的方程為x²+（y-2）²=1，直線l的方程為x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），過(guò)P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD=

2

時(shí)，求直線CD的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（2m，m），代入圓方程，解得m，進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)直線CD的斜率為k，由P的坐標(biāo)表示出直線CD的解析式，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線CD的距離d，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出直線CD的方程．

解答：解：（1）設(shè)P（2m，m），由題可知：MP=

1

sin30°

=2，即（2m）²+（m-2）²=4，
解得：m=0或m=

4

5

，
則P的坐標(biāo)為（0，0）或（

8

5

，

4

5

）；
（2）設(shè)直線CD的斜率為k，由P（2，1），得到直線CD的解析式為y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0，
∵圓的半徑r=1，CD=

2

，
∴圓心到直線CD的距離d=

12-( 2 2 )2

=

2

2

，即

|-1-2k|

k2+1

=

2

2

，
解得：k=-

1

7

或k=-1，
則直線CD的解析式為x+7y-9=0或x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及直線的點(diǎn)斜式方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．