Question

證明下列恒等式．
（1）

sin(α+β)

cosαcosβ

=tanα+tanβ．
（2）sin（α+β）cos（α-β）=sinαcosα+sinβcosβ．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明

專題：證明題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用兩角和的正弦公式展開(kāi)，分子分母同時(shí)除以cosαcosβ即可得證．
（2）利用兩角和公式對(duì)等式左邊進(jìn)行展開(kāi)，化簡(jiǎn)整理進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，進(jìn)一步化簡(jiǎn)整理證明原式．

解答：證明：（1）左邊=

sinαcosβ+cosαsinβ

cosαcosβ

（分子分母同時(shí)除以cosαcosβ）=tanα+tanβ=右邊．
從而得證．
（2）左邊=sin（α+β）cos（α-β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）•（cosαcosβ+sinαsinβ）
=sinαcosαcos²β+sin²αsinβcosβ+cos²αsinβcosβ+sinαcosαsin²β
=sinαcosα（cos²β+sin²β）+sinβcosβ（sin²α+cos²α）
=sinαcosα+sinβcosβ
=右邊．
從而得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，屬于基礎(chǔ)題．