Question

9．把數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{n^2}+n}}}\right\}$依次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，…，按此規(guī)律下去，即$（{\frac{1}{2}}），（{\frac{1}{6}，\frac{1}{12}}），（{\frac{1}{20}，\frac{1}{30}，\frac{1}{42}}）$，…，則第6個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)字之和為$\frac{3}{176}$．

Answer 1

分析 利用裂項(xiàng)相消法，求出前面6個(gè)括號(hào)的數(shù)的總和，及前5個(gè)括號(hào)數(shù)的總和，相減可得答案．

解答 解：∵$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故數(shù)列{$\frac{1}{{n}^{2}+n}$}的前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
由于第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)四個(gè)數(shù)，…
故前6個(gè)括號(hào)的數(shù)共有1+2+3+4+5+6=21個(gè)，
前面6個(gè)括號(hào)的數(shù)的總和為：S₂₁=$\frac{21}{22}$，
故前5個(gè)括號(hào)的數(shù)共有1+2+3+4+5=15個(gè)，
前面5個(gè)括號(hào)的數(shù)的總和為：S₁₅=$\frac{15}{16}$，
故第6個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)字之和為$\frac{21}{22}-\frac{15}{16}$=$\frac{3}{176}$，
故答案為$\frac{3}{176}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，數(shù)列求和，其中分析出數(shù)列{$\frac{1}{{n}^{2}+n}$}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3}{176}$是解答的關(guān)鍵．