已知在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,向量
m
=(2
3
sin
B
2
,
3
2
)
,
n
=(sin(
B
2
+
π
2
),1)
,且
m
n
=
3

(1)求角B的大。
(2)若角B為銳角,a=6,S△ABC=6
3
,求實(shí)數(shù)b的值.
分析:(1)通過向量的數(shù)量積以及二倍角的正弦函數(shù),求出B的正弦函數(shù)值,然后求出角B的大;
(2)通過角B為銳角,a=6,S△ABC=6
3
,求出c的大小,利用余弦定理直接求實(shí)數(shù)b的值.
解答:解:(1)因?yàn)橄蛄?span id="xlvpblx" class="MathJye">
m
=(2
3
sin
B
2
,
3
2
),
n
=(sin(
B
2
+
π
2
),1)
,且
m
n
=
3

所以
m
n
=2
3
sin 
B
2
cos
B
2
+
3
2
=
3
,
∴sinB=
1
2
,因?yàn)锽是三角形內(nèi)角,所以B=
π
3
或B=
3

(2)因?yàn)榻荁為銳角,a=6,S△ABC=6
3
,
所以
1
2
acsinB=6
3
,所以c=4,
由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB=36+16-24=28,
所以實(shí)數(shù)b=2
7
點(diǎn)評(píng):本題通過平面向量的數(shù)量積考查二倍角公式、三角形的面積以及余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在△ABC中,A>B,且tanA與tanB是方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根.
(Ⅰ)求tan(A+B)的值;
(Ⅱ)若AB=5,求BC的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在△ABC中,a=2
3
,c=6,A=30°
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在△ABC中,∠A=120°,記
α
=
BA
|
BA
|cosA
+
BC
|
BC
|cosC
,
β
=
CA
|CA|
cosA
+
CB
|
CB
|sinB
CB
|
CB
|cosB
,則向量
α
β
的夾角為
120°
120°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在△ABC中,a=2
3
,b=6,A=30°,解三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在△ABC中,a,b,c為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長,r為內(nèi)切圓的半徑,則△ABC的面積S=
1
2
(a+b+c)
•r,將此結(jié)論類比到空間,已知在四面體ABCD中,已知在四面體ABCD中,
S1,S2,S3,S4分別為四個(gè)面的面積,r為內(nèi)切球的半徑
S1,S2,S3,S4分別為四個(gè)面的面積,r為內(nèi)切球的半徑
,則
四面體ABCD的體積V=
1
3
(S1+S2+S3+S4).r
四面體ABCD的體積V=
1
3
(S1+S2+S3+S4).r

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