Question

用秦九韶算法求n 次多項式f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀，當x=x₀時，求f（x₀）需要算乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為（　　）

• A、

  n(n+1)

  2

  ，n，n
• B、n，2n，n
• C、0，2n，n
• D、0，n，n

Answer 1

分析：求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即 v₁=a_nx+a_n-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即 v₂=v₁x+a_n-2　　v₃=v₂x+a_n-3…v_n=v_n-1x+a₁ 這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值．

解答：解：f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=（a_nx^（n-1）+a[n-1]x^（n-2）+…+a[1]）x+a[0]
=（（a_nx^n-2+a_n-1x^n-3+…+a₂）x+a₁）x+a₀
=…
=（…（（a_nx+a_n-1）x+a_n-2）x+…+a₁）x+a₀．
求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，
即 v₁=a_nx+a_n-1
然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即
v₂=v₁x+a_n-2　　v₃=v₂x+a_n-3…
v_n=v_n-1x+a₁
這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值．
∴對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法
故選D

點評：秦九韶算法對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法．