Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a₂=2，且點(diǎn)（S_n，S_n+1）在直線y=kx+1上
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）記T_n為數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和，求T₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)（S_n，S_n+1）在直線y=kx+1上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程，有所給的前兩項(xiàng)的值算出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求解．
（2）由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)的問題，考慮的思路一般是，仿寫相減，變前n項(xiàng)和的關(guān)系為a_n之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是等比數(shù)列．
（3）由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，寫出s_n，題目把它當(dāng)做通項(xiàng)，求它的前十項(xiàng)的和，用等比數(shù)列求和公式即可．

解答：解：（1）S_n+1=k•S_n+1，令n=1有，S₂=k•S₁+1，∴a₁+a₂=k•a₁+1．代入a₁=1，a₂=2有k=2．
（2）∵S_n+1=2S_n+1，∴S_n=2S_n-1+1（n≥2）．
兩式相減有，a_n+1=2a_n，即，

an+1

an

=2．且

a2

a1

=2符合．
∴{a_n}為公比為2的等比數(shù)列．
(3)Sn=

1-2n

1-2

=2n-1
∴T10=(2+22+23++210)-10=

2(1-210)

1-2

-10=2036.

點(diǎn)評：理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡單的問題．同時(shí)也要理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題．