Question

【題目】某校高三共有900名學(xué)生，高三模擬考之后，為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣方法從中抽出若干學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績(jī)，按成績(jī)分組，制成如下的頻率分布表：

組號(hào)	第一組	第二組	第二組	第四組
分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	6	4	22	20
頻率	0.06	0.04	0.22	0.20
組號(hào)	第五組	第六組	第七組	第八組
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	18	a	10	5
頻率	b	0.15	0.10	0.05

（1）若頻數(shù)的總和為c，試求a，b，c的值；
（2）為了了解數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生的心理狀態(tài)，現(xiàn)決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生，在這6名學(xué)生中又再隨機(jī)抽取2名與心理老師面談，令第七組被抽中的學(xué)生數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)轭l率和為1，所以b=0.18，

又因?yàn)轭l率= ，所以c=100，a=15．

（2）解：第六、七、八組共有30個(gè)樣本，用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生，則每個(gè)學(xué)生被抽中的概率均為 ．

所以從第七組中抽取的樣本數(shù)為 ×10=2．

所以隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2．

P（ξ=0）= = ，

P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ．

∴隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

所以E（ξ）=0× +1× +2× = ．

（3）解：根據(jù)頻率分布表估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為：

75×0.06+85×0.04+95×0.22+105×0.2+115×0.18+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110．

【解析】（1）由頻率= ，能求出a，b，c的值．（2）第六、七、八組共有30個(gè)樣本，用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生，則每個(gè)學(xué)生被抽中的概率均為 ．從第七組中抽取的樣本數(shù)為 ×10=2．從而隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和E（ξ）．（3）根據(jù)頻率分布表能估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握⑴平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量；⑵平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都有單位；⑶平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，與這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都有關(guān)系，所以最為重要，應(yīng)用最廣；⑷中位數(shù)不受個(gè)別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響；⑸眾數(shù)與各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，不受個(gè)別數(shù)據(jù)的影響，有時(shí)是我們最為關(guān)心的數(shù)據(jù)，以及對(duì)離散型隨機(jī)變量及其分布列的理解，了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．