【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,,點(diǎn)、分別在線段、上,且,其中,連接,延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連接.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若時(shí),求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若直線與平面所成角的正弦值為時(shí),求值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)在線段上取一點(diǎn),使得,,證明四邊形為平行四邊形,得到,然后證明平面.
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量利用空間向量的數(shù)量積,求解二面角的正弦值.
(Ⅲ)令,,,,,求出平面的一個(gè)法向量利用空間向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.
(Ⅰ)在線段上取一點(diǎn),使得,,
且,
,
,且,
且,
四邊形為平行四邊形,
,
又平面,平面,
平面.
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,0,,,0,,,2,,,2,,,0,,
,,1,,,0,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
,,
,令,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
,,
,
令,,,,
,
,
二面角的正弦值為.
(Ⅲ)令,,,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
,,
,令,
,
由題意可得:,
,
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,點(diǎn)為左焦點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)在圓上是否存在一點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線與橢圓相交于、兩點(diǎn)滿足?若存在,求的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)于任意的(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若與曲線交于不同的兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率;
(3)若, 是直線上的動(dòng)點(diǎn),過作曲線的兩條切線,切點(diǎn)為,探究:直線是否過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失(單位:元),空氣質(zhì)量指數(shù)為.當(dāng)時(shí),企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)對(duì)企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型(當(dāng)時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為,當(dāng)時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元;
(1)試寫出的表達(dá)式:
(2)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,試估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失超過350元的概率;
(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有12天為重度污染,完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四名工人一天中生產(chǎn)零件的情況如圖所示,每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別表示該工人一天中生產(chǎn)
的Ⅰ型、Ⅱ型零件數(shù),有下列說法:
四個(gè)工人中,的日生產(chǎn)零件總數(shù)最大
②日生產(chǎn)零件總數(shù)之和小于日生產(chǎn)零件總數(shù)之和
③日生產(chǎn)Ⅰ型零件總數(shù)之和小于Ⅱ型零件總數(shù)之和
④日生產(chǎn)Ⅰ型零件總數(shù)之和小于Ⅱ型零件總數(shù)之和
則正確的說法有__________(寫出所有正確說法的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),在(Ⅰ)的條件下,試判斷在上是否存在極值.若存在,判斷極值的正負(fù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】【題目】已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.
(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;
(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.
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【題目】已知命題:“,使等式成立”是真命題.
(1)求實(shí)數(shù)的取值集合;
(2)設(shè)不等式的解集為,若是的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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