Question

已知無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，a₃，…，a_m是首項為10，公差為-2的等差數列，a_m+1，a_m+2，a_m+3，…，a_2m是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列（其中m≥3，m∈N*），并對任意的n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（Ⅰ）當m=12時，求a₂₀₁₄；
（Ⅱ）若a52=

1

128

，試求m的值；
（Ⅲ）判斷是否存在m（m≥3，m∈N^*），使得S_128m+3≥2014成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當 m=12時，由a_n+2×12=a_n知數列的周期為24，于是a₂₀₁₄=a₂₂，依題意可求得a₂₂=

1

1024

；
（Ⅱ）設a_m+k是第一個周期中等比數列中的第k項，則a_m+k=(

1

2

)k，于是

1

128

=(

1

2

)7，即m≥7，則一個周期中至少有14項，a₅₂最多是第三個周期中的項．對a₅₂是第一個周期中的項、第二個周期中的項、第三個周期中的項，分別討論計算即可求得m的值；
（Ⅲ）依題意，S_128m+3表示64個周期及等差數列的前3項之和，當S_2m最大時，S_128m+3最大．易求S_2m=-(m-

11

2

)2+

125

4

-

1

2m

，經討論可求得當m=6時，S_2m取得最大值，從而可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m+3≥2014成立．

解答：解：（Ⅰ）當 m=12時，由a_n+2×12=a_n知數列的周期為24，
∵2014=24×83+22，而a₂₂是等比數列中的項，
∴a₂₀₁₄=a₂₂=

1

2

•(

1

2

)9=

1

1024

．
（Ⅱ）設a_m+k是第一個周期中等比數列中的第k項，則a_m+k=(

1

2

)k，
∵

1

128

=(

1

2

)7，
∴等比數列中至少有7項，即m≥7，則一個周期中至少有14項．
∴a₅₂最多是第三個周期中的項．
若a₅₂是第一個周期中的項，則a₅₂=a_m+7=

1

128

，
∴m=52-7=45；
若a₅₂是第二個周期中的項，則a₅₂=a_2m+m+7=a_3m+7=

1

128

，
∴3m=45，m=15；
若a₅₂是第三個周期中的項，則a₅₂=a_4m+m+7=a_5m+7=

1

128

，
∴5m=45，m=9．
綜上，m=45或m=15或m=9．
（Ⅲ）∵2m是此數列的周期，
∴S_128m+3表示64個周期及等差數列的前3項之和．
∴S_2m最大時，S_128m+3最大．
因為S_2m=10m+

m(m-1)

2

×（-2）+

1 2 [1-( 1 2 )m]

1- 1 2

=-m²+11m+1-

1

2m

=-(m-

11

2

)2+

125

4

-

1

2m

，
當m=6時，S_2m=31-

1

64

=30

63

64

；
當m≤5時，S_2m＜30

63

64

；
當m≥7時，S_2m＜-(7-

11

2

)2+

125

4

=29＜30

63

64

；
當m=6時，S_2m取得最大值，則S_128m+3取得最大值為64×30

63

64

+24=2007．
由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m+3≥2014成立．…（14分）

點評：本題考查數列的求和，著重考查數列的函數特性，考查其周期性、單調性與最值，突出分類討論思想與等價轉化思想的綜合應用，屬于難題．