【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[﹣1,0]時(shí),函數(shù)的解析式為f(x)= ﹣ (a∈R).
(1)求出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[﹣1,0]上的最大值.
(3)對(duì)任意的x1 , x2∈[﹣1,1]都有|f(x1)﹣f(x2)|≤M成立,求最小的整數(shù)M的值.
【答案】
(1)解:因?yàn)閒(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),
所以f(0)=1﹣a=0,所以a=1;
當(dāng)x∈[0,1]時(shí),則﹣x∈[﹣1,0],所以f(x)=﹣f(﹣x)= ,
化簡(jiǎn)得f(x)=2x﹣4x.x∈[0,1]
(2)解:由(1)知,x∈[0,1]時(shí), ,其中2x∈[1,2],
所以當(dāng)2x=1時(shí),fmax(x)=0;2x=2時(shí),fmin(x)=﹣2,
根據(jù)對(duì)稱性可知f(x)在[﹣1,0]上的最大值為2
(3)解:因?yàn)閒(x)為[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(0)=0,結(jié)合(2)可知,該函數(shù)在定義域[﹣1,1]上的最大值為2,最小值為﹣2,
|f(x1)﹣f(x2)|≤fmax(x)﹣fmin(x)=4,所以M=4
【解析】(1)先設(shè)x∈[0,1],則﹣x∈[﹣1,0],然后結(jié)合已知的解析式、奇函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題;(2)根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn),可采用配方法結(jié)合自變量的取值范圍解決問題;(3)因?yàn)槭遣坏仁胶愠闪栴},所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲;在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, .
(Ⅰ)若是的必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若,“或”為真命題,“且”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=log2(x2﹣3x+2)的遞減區(qū)間是( )
A.(﹣∞,1)
B.(2,+∞)
C.(﹣∞, )
D.( ,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn), .
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn),連接(為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),求面積的最大值及取最大值時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.
(1)3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC,求cosA的值;
(2)若sin(A+ )=2cosA,求A.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn .
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求{bn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出的直角坐標(biāo)方程,并且用 (為直線的傾斜角, 為參數(shù))的形式寫出直線的一個(gè)參數(shù)方程;
(2) 與是否相交,若相交求出兩交點(diǎn)的距離,若不相交,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐D﹣ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC,E為BC的中點(diǎn),F(xiàn)在棱AC上,且AF=3FC,
(1)求證:AC⊥平面DEF;
(2)求平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log (3x2﹣ax+5)在[﹣1,+∞)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[﹣8,﹣6]
B.(﹣8,﹣6]
C.(﹣∞,﹣8)∪(﹣6,+∞)
D.(﹣∞,﹣6]
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