Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x

-x
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）用定義證明f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，然后利用f（-x）=-f（x）得到函數(shù)的奇偶性；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=

2

x

-x的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
又f（-x）=

2

-x

+x=-(

2

x

-x)=-f(x)．
∴f（x）是奇函數(shù)；   
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩數(shù)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2

x1

-x1-

2

x2

+x2
=

2(x2-x1)

x1x2

+(x2-x1)
=(x2-x1)(1+

2

x1x2

)．
∵x₁＞0，x₂＞0且x₁＜x₂，
∴(x2-x1)(1+

2

x1x2

)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷方法，考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，是基礎(chǔ)題．