Question

（2013•山東）已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
（Ⅰ）設a≥0，求f（x）的單調區(qū)間
（Ⅱ） 設a＞0，且對于任意x＞0，f（x）≥f（1）．試比較lna與-2b的大小．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)的解析式知，可先求出函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx的導函數(shù)，再根據(jù)a≥0，分a=0，a＞0兩類討論函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（II）由題意當a＞0時，

-b+ b2+8a

4a

是函數(shù)的唯一極小值點，再結合對于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出

-b+ b2+8a

4a

=1化簡出a，b的關系，再要研究的結論比較lna與-2b的大小構造函數(shù)g（x）=2-4x+lnx，利用函數(shù)的最值建立不等式即可比較大小

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b-

1

x

又a≥0，
故當a=0時，f′（x）=

bx-1

x

若b=0時，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜

1

b

，即函數(shù)在（0，

1

b

）上是減函數(shù)，在（

1

b

，+∞）上是增函數(shù)、
所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（0，

1

b

），單調遞增區(qū)間是（

1

b

，+∞），
當a＞0時，令f′（x）=0，得2ax²+bx-1=0
由于△=b²+8a＞0，故有
x₂=

-b+ b2+8a

4a

，x₁=

-b- b2+8a

4a

顯然有x₁＜0，x₂＞0，
故在區(qū)間（0，

-b+ b2+8a

4a

）上，導數(shù)小于0，函數(shù)是減函數(shù)；在在區(qū)間（

-b+ b2+8a

4a

，+∞）上，導數(shù)大于0，函數(shù)是增函數(shù)
綜上，當a=0，b≤0時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（0，+∞）；當a=0，b＞0時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（0，

1

b

），單調遞增區(qū)間是（

1

b

，+∞）；當a＞0，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（0，

-b+ b2+8a

4a

），單調遞增區(qū)間是（

-b+ b2+8a

4a

，+∞）
（II）由題意，函數(shù)f（x）在x=1處取到最小值，
由（1）知，

-b+ b2+8a

4a

是函數(shù)的唯一極小值點故

-b+ b2+8a

4a

=1
整理得2a+b=1，即b=1-2a
令g（x）=2-4x+lnx，則g′（x）=

1-4x

x

令g′（x）=

1-4x

x

=0得x=

1

4

當0＜x＜

1

4

時，g′（x）＞0，函數(shù)單調遞增；
當

1

4

＜x＜+∞時，g′（x）＜0，函數(shù)單調遞減
因為g（x）≤g（

1

4

）=1-ln4＜0
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b

點評：本題是函數(shù)與導數(shù)綜合運用題，解題的關鍵是熟練利用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調性及根據(jù)所比較的兩個量的形式構造新函數(shù)利用最值建立不等式比較大小，本題考查了創(chuàng)新探究能力及轉化化歸的思想，本題綜合性較強，所使用的方法具有典型性，題后應做好總結以備所用的方法在此類題的求解過程中使用．