Question

【題目】設(shè)整數(shù)，對(duì)置于個(gè)點(diǎn)及點(diǎn)處的卡片作如下操作：操作：若某個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于3，則可從中取出三張，在三點(diǎn)、、處各放一張；操作：若點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于，則可從中取出張，在個(gè)點(diǎn)處各放一張。證明：只要放置于這個(gè)點(diǎn)處的卡片總數(shù)不少于，則總能通過若干次操作，使得每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)均不少于。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

僅對(duì)卡片總數(shù)等于證明即可。否則，若放在題設(shè)個(gè)點(diǎn)處的卡片總數(shù)多于，則可以從中隨便拿掉一些，使卡片總數(shù)恰為。

1.先把個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)均調(diào)整到不少于。

若某個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于3張，則實(shí)施操作，每一次這樣的操作均使得點(diǎn)處的卡片數(shù)增加1，經(jīng)過若干次操作后，便不能再實(shí)施操作，此時(shí)，每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)至多2張，點(diǎn)處的卡片數(shù)至少張；再對(duì)點(diǎn)連續(xù)實(shí)施次操作，使得每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)至少有張。

2.保證每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于張，經(jīng)歷一些操作，使得點(diǎn)處的卡片數(shù)增加至張。

ⅰ.團(tuán)與好團(tuán)。

把個(gè)點(diǎn)理解為以為圓心的圓周上順次均勻分布的個(gè)點(diǎn)，定義相鄰點(diǎn)集（；規(guī)定為一個(gè)團(tuán)；若一個(gè)團(tuán)的每個(gè)點(diǎn)均經(jīng)歷一次操作之后，各點(diǎn)處的卡片數(shù)均不少于，則稱之為好團(tuán)。

ⅱ.好團(tuán)的特征

記點(diǎn)處的卡片數(shù)為，則。

1個(gè)點(diǎn)的團(tuán)是好團(tuán)的充分必要條件為；

2個(gè)點(diǎn)的團(tuán)是好團(tuán)的充分必要條件為、；

個(gè)點(diǎn)的團(tuán)是好團(tuán)的充分必要條件為，且；

個(gè)點(diǎn)的團(tuán)是好團(tuán)的充分必要條件為。

ⅲ.當(dāng)點(diǎn)處的卡片數(shù)少于時(shí)，必存在好團(tuán)。

假設(shè)此時(shí)不存在好團(tuán)。

則，且。

記滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為。

則。

下面證明：。

因?yàn)?/span>不是好團(tuán)，所以，存在。

假設(shè)。則滿足的個(gè)點(diǎn)在圓周上沒有兩點(diǎn)相鄰（否則會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)的好團(tuán)），且每兩個(gè)這樣的點(diǎn)之間至少存在一個(gè)滿足的點(diǎn)（否則會(huì)出現(xiàn)的好團(tuán)），于是，必有。

故，矛盾。

因此，在點(diǎn)處的卡片數(shù)少于時(shí)，必存在好團(tuán)。

ⅳ.對(duì)好團(tuán)中每個(gè)點(diǎn)實(shí)施操作，使得點(diǎn)處的卡片數(shù)增加至，且有足夠的好團(tuán)保證。