Question

（2012•湛江二模）已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，P是雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1右支x軸上方的一點(diǎn)，連接AP交橢圓于點(diǎn)C，連接PB并延長交橢圓于點(diǎn)D．
（1）若a=2b，求橢圓C₁及雙曲線C₂的離心率；
（2）若△ACD和△PCD的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用a，b表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a=2b，結(jié)合橢圓中，c2=a2-b2=

3

4

a2，雙曲線中，c2=a2+b2=

5

4

a2，即可求得橢圓C₁及雙曲線C₂的離心率；
（2）設(shè)P、C的坐標(biāo)分別為（x₀，y₀），（x₁，y₁），根據(jù)△ACD和△PCD的面積相等，可得

-a+x0

2

=x1，

0+y0

2

=y1，分別代入橢圓、雙曲線方程，聯(lián)立方程，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵a=2b，∴在橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，c2=a2-b2=

3

4

a2
∴橢圓C₁的離心率為e1=

c

a

=

3

2

；
在雙曲線C₂中，c2=a2+b2=

5

4

a2，
∴雙曲線C₂的離心率為e2=

c

a

=

5

2

；
（2）設(shè)P、C的坐標(biāo)分別為（x₀，y₀），（x₁，y₁）
由題意知A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面積相等，
∴|AC|=|PC|
∴

-a+x0

2

=x1，

0+y0

2

=y1
代入橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1得b2x02-2ab2x0+a2b2 +a2y02=4a2b2①
∵P（x₀，y₀）是雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1右支x軸上方的一點(diǎn)，
∴a2y02=b2x02-  a2b2②
②代入①化簡可得x02-  ax0 -2a2=0
∴x₀=2a或-a（舍去）
∴y0=

b2x02-a2b2 a2

=

3

b
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a，

3

b）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是利用△ACD和△PCD的面積相等，尋求坐標(biāo)之間的關(guān)系．