Question

已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若，求sin（α+β+γ）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，代入，（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=1，求得2+2cos（α-β）=1，進(jìn)而求得cos（α-β）的值．
（2）根據(jù)（1）可求得cos（β-γ）的值，和cos（α-γ）的值，設(shè)，進(jìn)而可知α-γ，α-β，β-γ的值假設(shè)γ＞0，則可知不符合題意，進(jìn)而推斷γ=0則α，β可求，進(jìn)而求得sin（α+β+γ）．
解答：解：（1）sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，
（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=1，2+2cos（α-β）=1，
∴．

（2）由（1）同理得，
∵，由對稱性，不防設(shè)，
則，，，
又由（1）知，，，若γ＞0，則矛盾！
∴γ=0，有，，
∴sin（α+β+γ）=sin2π=0．
點評：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．要熟練掌握三角函數(shù)中倒數(shù)關(guān)系，平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系．