Question

9．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)恒滿足，且對任意實(shí)數(shù)x恒滿足f（x+2）=-f（x） 當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²
（1）求證：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）計(jì)算${∫}_{0}^{4}$f（x）dx 的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)周期的定義進(jìn)行證明即可．
（2）由f（x）最小正周期為4，知當(dāng)x∈[2，4]時，有f（-x）=f（-x+4），根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)推知f（x）=-f（-x），由此得到f（x）的解析式；
（3）利用定積分的計(jì)算公式解答．

解答 （1）證明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
（2）解：x∈[2，4]，則-x∈[-2，-4]，-x+4∈[0，2]，
∵函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（-x）=f（-x+4）=2（4-x）-（4-x）²
又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（x）=-f（-x）=x²-6x+8．
（3）解：${∫}_{0}^{4}$f（x）dx
=${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）dx+${∫}_{2}^{4}$（x²-6x+8）dx
=（$-\frac{1}{3}$x³+x²）|$\left.\begin{array}{l}{2}\\{0}\end{array}\right.$+（$\frac{1}{3}$x³-3x²+8x）|$\left.\begin{array}{l}{4}\\{2}\end{array}\right.$
=$-\frac{1}{3}$×2³+2²+$\frac{1}{3}$×4³-3×4²+8×4-$\frac{1}{3}$×2³+3×2²-8×2
=0．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的周期性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．