Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，∠ADB=90°，AD=BD=1，SA⊥平面ABCD，∠ASB=30°，E、F分別是SD、SC上的動點，M、N分別是SB、SC上的動點，且

SE

SD

=

SF

SC

=λ，

SM

SB

=

SN

SC

=μ．
（I）當λ，μ有何關系時，ME⊥平面SAD？并證明你的結論；
（II）在（I）的條件下且μ=

1

2

時，求三棱錐S-AME的體積．

Answer 1

分析：（I）λ=μ通過比例關系

SE SD = SF SC =λ SM SB = SN SC =μ λ=μ

，證明ME∥BD，BD垂直平面SAD內的兩條相交直線AD，SA即可．
（II）由（I）知，當λ=μ=

1

2

時，E，M分別是SD，SB的中點，通過轉化求出底面SAD的面積，即可求出三棱錐S-AME的體積．

解答：解：（I）證明：當λ=μ時，ME⊥平面SAD，

SE SD = SF SC =λ SM SB = SN SC =μ λ=μ

⇒

SE

SD

=

SM

SB

⇒ME∥BD
SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD⇒SD⊥SA，∵∠ADB=90°∴BD⊥AD
∴BD⊥平面SAD，

ME∥BD BD⊥平面SAD

⇒ME⊥平面SAD．
（II）由（I）知，當λ=μ=

1

2

時，E，M分別是SD，SB的中點，
ME=

1

2

BD=

1

2

，且ME⊥平面SAD
在△ABD中，∠ADB=90°，AD=BD=1，∴AB=

2

∴SA=

6

∴S△SAD=

1

2

SA•AD=

6

2

∴三棱錐S-AME的體積
VS-AME=VM-SAE=

1

3

S△SAE•ME=

1

3

 ×

1

2

S△SAD• ME=

1

3

×

1

2

×

6

2

  ×

1

2

=

6

24

點評：本題是中檔題，考查直線與平面的位置關系，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理能力，計算能力．