【題目】如圖幾何體中,邊長為正方形,直角梯形,,,,

(1)異面直線所成角的大小;

(2)求幾何體的體積.

【答案】(1) ;(2)

【解析】

試題分析:(1)求異面直線所成的角,一般根據(jù)定義,過異面直線中的一條上某一點作中一條直線的平行線,把異面直線所成的角化為相交直線所夾的銳角或直角,而這可能通過在三角形中求得,如果圖形中有兩兩相互垂直且交于同一點的三條直線,那么我們可以建立空間直角坐標系,把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為空間兩向量的夾角,要注意異面直線所成的角的范圍是,而向量的夾角范圍是,解題時注意轉(zhuǎn)化;(2)這個幾何體我們要通過劃分,把它變成幾個可求體積的幾何體,如三棱錐和四棱錐,這兩個棱錐的體積都易求,故原幾何體的體積也易求得.

試題解析:1)解法一:在的延長線上延長至點使得,連接.

由題意得,,平面,

平面,,同理可證.

,,

為平行四邊形,

.

(或其補角)為異面直線

所成的角. 3分

由平面幾何知識及勾股定理可以得

中,由余弦定理得

異面直線的夾角范圍為

異面直線所成的角為 7分

解法二:同解法一得所在直線相互垂直,故以為原點,所在直線

分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系, 2分

可得

,

. 4分

設向量夾角為,則

異面直線的夾角范圍為,

異面直線所成的角為 7分

(2)如圖,連結(jié),過的垂線,垂足為,則平面,且. 9分

11分

.

幾何體的體積為. 14分

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