Question

【題目】設(shè)n為一個正整數(shù)，三維空間內(nèi)的點集S滿足下述性質(zhì)：

（1）.空間內(nèi)不存在n個平面，使得點集S中的每個點至少在這n個平面中的一個平面上；

（2）.對于每個點，均存在n個平面，使得中的每個點均至少在這n個平面中的一個平面上.

求點集S中點的個數(shù)的最小值與最大值.

Answer 1

【答案】最小值為3n+1，最大值為.

【解析】

先求的最小可能值.

由于過任意三點均可以作一個平面，故.

而當(dāng)3n+1個點中，任意四點不共面時，即滿足題設(shè)條件.

于是，的最小可能值為3n+1.

接下來求的最大可能值.

對于每一個，

設(shè)直線能覆蓋.

由題設(shè)知.

設(shè).

則為一個三元n次多項式，且，.

于是，在（為次數(shù)不超過n的三元多項式的向量空間）中是線性無關(guān)的.

因此，.

下面給出集合S中有個點的例子.

如圖，設(shè)為個點構(gòu)成的正四面體點陣.

則.

對于每個點，可以用n個平面覆蓋.但不能用n個平面覆蓋.

綜上，集合S中點的個數(shù)的最大值為.