Question

8．設函數f（x）的定義域為R，如果存在函數g（x），使得f（x）≥g（x）對于一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．已知函數f（x）=ax²+bx+c的圖象經過點（-1，0）．
（1）若a=1，b=2．寫出函數f（x）的一個承托函數（結論不要求證明）；
（2）判斷是否存在常數a，b，c，使得y=x為函數f（x）的一個承托函數，且f（x）為函數$y=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$的一個承托函數？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，進而得到f（x），可取g（x）=x；
（2）假設存在常數a，b，c滿足題意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立問題解法，運用判別式小于等于0，化簡整理，即可判斷存在．

解答 解：（1）函數f（x）=ax²+bx+c的圖象經過點（-1，0），
可得a-b+c=0，又a=1，b=2，
則f（x）=x²+2x+1，
由新定義可得g（x）=x為函數f（x）的一個承托函數；
（2）假設存在常數a，b，c，使得y=x為函數f（x）的一個承托函數，
且f（x）為函數$y=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$的一個承托函數．
即有x≤ax²+bx+c≤$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$恒成立，
令x=1可得1≤a+b+c≤1，即為a+b+c=1，
即1-b=a+c，
又ax²+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）²-4ac≤0，
即為（a+c）²-4ac≤0，即有a=c；
又（a-$\frac{1}{2}$）x²+bx+c-$\frac{1}{2}$≤0恒成立，
可得a＜$\frac{1}{2}$，且b²-4（a-$\frac{1}{2}$）（c-$\frac{1}{2}$）≤0，
即有（1-2a）²-4（a-$\frac{1}{2}$）²≤0恒成立．
故存在常數a，b，c，且0＜a=c＜$\frac{1}{2}$，b=1-2a，
可取a=c=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$．滿足題意．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用賦值法和判別式法，考查運算能力，屬于中檔題．