已知函數(shù)

,如果函數(shù)

恰有兩個不同的極值點

,

,且

.
(Ⅰ)證明:

;(Ⅱ)求

的最小值,并指出此時

的值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)最小值為

,此時

.
試題分析:(Ⅰ)函數(shù)

有兩個不同的極值點,等價于

有兩個不等的實數(shù)根,即

有兩個不同的零點

和

,利用導(dǎo)數(shù)判斷

的形狀,

,發(fā)現(xiàn)函數(shù)當(dāng)

時,

是減函數(shù);當(dāng)

時,

是增函數(shù),故

;(Ⅱ)

,又

,故


,是自變量為

,定義域

的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最值,并計算相應(yīng)的

值.
試題解析:(Ⅰ)∵ 函數(shù)

恰有兩個不同的極值點

,

,即

有兩個零點

,

,
∴方程

有兩個不同的零點

,

, 令

,

,當(dāng)

時,

,

是減函數(shù);當(dāng)

時,

,

是增函數(shù),∴

在

時取得最小值.
∴

.
(Ⅱ)∵

,即

,∴

,于是



, ∴

,∵

,∴

.
∴ 當(dāng)

時,

,

是減函數(shù);當(dāng)

時,

,

是增函數(shù).
∴

在

上的最小值為

,此時

.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

.
(1)當(dāng)

時,求函數(shù)

在

上的最大值;
(2)令

,若

在區(qū)間

上不單調(diào),求

的取值范圍;
(3)當(dāng)

時,函數(shù)

的圖象與

軸交于兩點

,且

,又

是

的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)

滿足條件

.證明:

.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(13分)已知函數(shù)

.
(1)若

,求曲線

在點

處的切線方程;
(2)討論函數(shù)

的單調(diào)性.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知a為實數(shù),x=1是函數(shù)

的一個極值點。
(Ⅰ)若函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞減,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)

,對于任意

和

,有不等式

恒成立,求實數(shù)

的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

.
(1)若

在區(qū)間

單調(diào)遞增,求

的最小值;
(2)若

,對

,使

成立,求

的范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)

時,求

的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)

時

恒成立,求實數(shù)

的取值范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若點

在函數(shù)

的圖像上,點

在函數(shù)

的圖像上,則

的最小值為( )
A. | B.2 | C. | D.8 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)

(m為常數(shù))圖象上A處的切線與

平行,則點A的橫坐標(biāo)是( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)曲線

在點

處的切線與

軸的交點的橫坐標(biāo)為

,令

,則

的值為( )
查看答案和解析>>