Question

20．已知拋物線C：x²=4y與直線y=kx+1交于M，N兩點，其中點M位于點N的左側(cè)．
（1）當(dāng)k=0時，分別求拋物線C在點M和N處的切線方程；
（2）在y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN（O為坐標原點）？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=0時，求得M和N點坐標，設(shè)出M點處的切線方程，代入拋物線方程，△=0求得k₁的值，即可求得k₂的值，即可求得M和N處的切線方程；
（2）設(shè)出M和N點及PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，將直線PM的方程代入拋物線方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理求得x₁+x₂，x₁•x₂，k₁+k₂=k（b+1），
當(dāng)b+1=0，即k₁+k₂=0，此時直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，即可證明∠OPM=∠OPN．

解答 解：（1）當(dāng)k=0，由題意可得M（-2，1），N（2，1），
設(shè)在M點處的切線方程為y-2=k₁（x+2），
代入C：x²=4y，得x²-4k₁x-8k₁-4=0，△=0，
解得：k₁=-1，同理在N點的切線斜率為k₂=1，
∴曲線C在M處的切線方程x+y+1=0，
曲線C在N處的切線方程為x-y-1=0．
（2）存在符合題意得點，P（0，-1）證明如下：
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，b）直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，將y=kx+1代入拋物線方程C得：x²-4kx-4=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+1-b}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+1-b}{{x}_{2}}$，
=k（b+1）．
當(dāng)b+1=0時，恒有k₁+k₂=0，此時直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，
∴∠OPM=∠OPN，
∴點P（0，-1）符合題意．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)及求拋物線的切線方程，直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．