Question

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，已知a₂＝2a₁＋3，且3a₂，a₄，5a₃成等差數(shù)列．

(1) 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2) 設(shè)b_n＝log₃a_n，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n.

Answer 1

解：(1) 設(shè){a_n}公比為q，由題意得q>0，

且

解得 (舍)，

所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝3·3^n－1＝3ⁿ，n∈N^．

(2) 由(1)可得b_n＝log₃a_n＝n，所以a_nb_n＝n·3ⁿ.

所以S_n＝1·3＋2·3²＋3·3³＋…＋n·3ⁿ，

所以3S_n＝1·3²＋2·3³＋3·3⁴＋…＋n·3^n＋1，

兩式相減得，2S_n＝－3－(3²＋3³＋…＋3ⁿ)＋n·3^n＋1＝－(3＋3²＋3³＋…＋3ⁿ)＋n·3^n＋1

＝－＋n·3^n＋1＝，

所以數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n＝.