Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=3MC，求三棱錐P-QBM的體積．

Answer 1

分析 （1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎體體積公式求出；

解答 證明：（1）∵PA=PD，
∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，
∴BC⊥平面PQB，
又PM=3MC，
∴V_P-QBM=V_M-PQB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{3}{4}×2=\frac{3}{4}$．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判斷與證明，考查空間想象能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．