分析 (1)由新定義,比如如10,9,1,8,7,1;
(2){an}的極限不存在,{bn}的極限存在.運用分段形式寫出an與bn的通項公式,即可得到結(jié)論;
(3)運用反證法證明.假設(shè){an}中只有有限個零,則存在K,使得當(dāng)n≥K時,an>0.運用推理論證得到{bn}單調(diào),即可證明.
解答 解:(1)如10,9,1,8,7,1等等.
(2){an}的極限不存在,{bn}的極限存在.
事實上,因為|3-0|=3,|0-3|=3,|3-3|=0,
當(dāng)n≥2015時,an={3,n=3k−10,n=3k3,n=3k+1,k∈Z,
因此當(dāng)n≥2015時,bn=6.
所以n→∞limbn=6.
(3)證明:假設(shè){an}中只有有限個零,則存在K,使得當(dāng)n≥K時,an>0.
當(dāng)n≥K時,記bn=max{an,an+1}.
于是an+1≤bn,an+2=|an-an+1|<max{an,an+1}<bn,故bn+1≤bn,
而an+3=|an+2-an+1|<max{an+2,an+1}≤bn+1≤bn,從而bn+2<bn.
這樣bK>bK+2>bK+4>…形成了一列嚴(yán)格遞減的無窮正整數(shù)數(shù)列,這不可能,
故假設(shè)不成立,{an}中必有無限個0.
點評 本題考查新定義的理解和運用,考查數(shù)列極限的求法和不等式的證明方法:反證法,考查運算和推理能力,屬于中檔題.
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A. | -\frac{{3+\sqrt{6}}}{6} | B. | \frac{{3+\sqrt{6}}}{6} | C. | \frac{{\sqrt{6}-3}}{6} | D. | \frac{{3-\sqrt{6}}}{6} |
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